Вычислить несобственный интеграл или указать его расходимость

Ответы 1

$\int\limits^2_1 { \frac{1}{ \sqrt[3]{ (2x-2)^5 } } \, dx$ Вроде бы нормальный интеграл, но подынтегральная функция в точке x=1 терпит бесконечный разрыв.Возьмём интеграл путём приведения дифференциала к виду, когда интеграл станет табличным. Интеграл будем вычислять по формуле Ньютона-Лейбница, правда, модифицированной для несобственных интегралов подобного рода. $\int\limits^2_1 { \frac{1}{ \sqrt[3]{ (2x-2)^5 } } \, dx = \int\limits^2_1 (2x-2)^{-5/3} dx = \frac{1}{2} \int\limits^2_1 (2x-2)^{-5/3} d(2x) =$ $= \frac{1}{2} \int\limits^2_1 (2x-2)^{-5/3} d(2x-2) = - \frac{3}{4} \lim_{a \to \inft{1_{+0}}} (2x-2)^{-2/3} |_a^2 = \\ \\ = - \frac{3}{4} \lim_{a \to \inft{1_{+0}}} \frac{1}{ \sqrt[3]{(2x-2)^2} } |_a^2 = - \frac{3}{4} ( \frac{1}{\sqrt[3]{4}} - \lim_{a \to \inft{1_{+0}}} \frac{1}{ \sqrt[3]{(2x-2)^2}} ) = \\ \\ - \frac{3}{4} ( \frac{1}{\sqrt[3]{4}} - \infty ) = +\infty$ Несобственный интеграл расходится.
- Автор:
  sorenfxge
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ