Помогите решить. Вычислить приближенно определенный интеграл с точностью 0,001

Ответы 1

Рассмотрим функцию $f(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}x-x+\dfrac{x^3}3$ Оценим её максимальное значение на отрезке $[0,1/4]$ . На этом отрезке она дифференцируема, $f'(x)=\dfrac1{1+x^2}+(1+x^2)-2=\dfrac{x^4}{1+x^2}\leqslant x^4\leqslant\left(\dfrac 14ight)^4\ \textless \ \dfrac1{250}=0.004$ $0\leqslant f(x)\leqslant f(0)+0.004\cdot\dfrac14=0.001$ $\displaystyle\int_{-0.5}^0\mathop{\mathrm{arctg}}x^2\,dx=\int_{-0.5}^0\left(x^2-\dfrac{x^6}3ight)\,dx+\int_{-0.5}^0 f(x^2)\,dx$ Оцениваем второй интеграл: $\displaystyle \left|\int_{-0.5}^0 f(x^2)\,dxight|\leqslant\int_{-0.5}^0\left|f(x^2)ight|\,dx\leqslant\int_{-0.5}^00.001\,dx\ \textless \ 0.001$ Его значение меньше допустимой погрешности, его можно отбросить. $\displaystyle\int_{-0.5}^0\mathop{\mathrm{arctg}}x^2\,dx\approx\int_{-0.5}^0\left(x^2-\dfrac{x^6}3ight)\,dx=\left.\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^7}{21}ight|_{-0.5}^0=\\=\dfrac1{24}-\dfrac1{2688}=\dfrac{37}{896}\approx0.041$ Ответ. 0,041
- Автор:
  weiner
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ