Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите решить 3 задания (Коши, частное решение уравнения удовлетворяющее начальному условию, общее решение дифференциального уравнения).

    question img

Ответы 1

  • Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными\sqrt{3+y^2}+\sqrt{1-x^2}y\frac{dy}{dx}=0|*\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{3+y^2}}\\\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{ydy}{\sqrt{3+y^2}}\\\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\int\frac{d(3+y^2)}{\sqrt{3+y^2}}\\arcsinx=-\sqrt{3+y^2}+C\\arcsinx+\sqrt{3+y^2}=CПри делении мы теряем возможное решение:y=^+_-\sqrt{3}i, проверяем.y=^+_-\sqrt{3}i\\y'=0\\\sqrt{3+y^2}+\sqrt{1-x^2}yy'=0\\\sqrt{3-3}+0=0\\0=0y=^+_-\sqrt{3}i является решением дифференциального уравнения.Окончательный ответ:arcsinx+\sqrt{3+y^2}=C;y=^+_-\sqrt{3}i----------Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.y'-\frac{y}{x}=2lnx\\y=uv;y'=u'v+v'u\\u'v+v'u-\frac{1}{x}uv=2lnx\\u'v+u(v'-\frac{1}{x}v)=2lnx\\\begin{cases}v'-\frac{1}{x}v=0\\u'v=2lnx\end{cases}\\\frac{dv}{dx}-\frac{v}{x}=0|*\frac{dx}{v}\\\frac{dv}{v}=\frac{dx}{x}\\\int\frac{dv}{v}=\int\frac{dx}{x}\\ln|v|=ln|x|\\v=x\\\frac{du}{dx}x=2lnx|*\frac{dx}{x}\\du=\frac{2lnxdx}{x}\\\int du=2\int lnxd(lnx)\\u=ln^2|x|+C\\y=xln^2|x|+Cx\\y(1)=1\\\\1=0+C\\C=1\\y=xln^2|x|+x----------Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядкаy''-9y=(4x+2)e^x\\\lambda^2-9=0\\\lambda^2=9\\\lambda_{1,2}=^+_-3\\Y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}\\\hat{y}=(Ax+B)e^{x}\\\hat{y}'=Ae^{x}+(Ax+B)e^{x}\\\hat{y}''=2Ae^x+(Ax+B)e^{x}\\\\2Ae^x+(Ax+B)e^{x}-9(Ax+B)e^{x}=(4x+2)e^x\\e^x|A-4B=1=\ \textgreater \ B=-\frac{3}{8}\\xe^x|-8A=4=\ \textgreater \ A=-\frac{1}{2}\\\hat{y}=(-\frac{1}{2}x-\frac{3}{8})e^x\\y=Y+\hat{y}=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\y(0)=1\\1=C_1+C_2-\frac{3}{8}\\C_1+C_2=\frac{11}{8}\\\\\\y'=-3C_1e^{-3x}+3C_2e^{3x}-\frac{1}{2}e^x-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x\\y'(0)=0\\0=-3C_1+3C_2-\frac{1}{2}-\frac{3}{8}\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\\\\\begin{cases}C_1+C_2=\frac{11}{8}|*3\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\end{cases}=\ \textgreater \ \begin{cases}3C_1+3C_2=\frac{33}{8}\\-\\3C_1-3C_2=-\frac{7}{8}\end{cases}\\6C_2=5\\C_2=\frac{5}{6}\\C_1=\frac{11}{8}-\frac{5}{6}=\frac{33-20}{24}=\frac{13}{24}y=\frac{13}{24}e^{-3x}+\frac{5}{6}e^{3x}-(\frac{1}{2}x+\frac{3}{8})e^x

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years