. Палочка разломана на 15 частей так, что ни из каких трёх частей нельзя сложить
треугольник. Докажите, что среди частей есть такая, которая длиннее трети исходной
палочки.

Что мешает им быть при этом всем<= 1/3 палки?

По теореме о неравенстве треугольника сумма двух сторон в треугольнике больше, чем третья сторона, значит, если из 3 кусков палки нельзя составить треугольник, то сумма 2 в выборке из 3 любых должна быть больше 3 куска палки. Тоже Эйлера решаешь?))