На плоскости из одной точки отложено 27 лучей. Какое наибольшее количество тупых углов могут образовывать пары этих лучей?

40 БАЛЛОВ

Для начала вспомним, что тупой угол - это угол с градусной мерой больше 90° и меньше 180°. Из одной точки можно пустить три луча, которые между собой образуют 3 тупых угла.Пустим 4-й луч вблизи одного из трёх лучей, у нас добавится дополнительно 2 тупых угла. 5-й луч пустим вблизи второго из числа первых трёх, дополнительно образуются 3 тупых угла. Наконец, пускаем 6-й луч вблизи третьего, получив дополнительно 4 тупых угла. У нас будет получаться как бы три пучка близко расположенных лучей в каждом пучке.Считаем сколько получилось тупых углов после добаления к первым трём лучам ещё трёх лучей. 3 луча было, плюс 2, плюс 3 и плюс 4, всего 12 лучей.Итак, для 3-х лучей - 3 тупых угла; для 6 лучей - 12 тупых углов.Рассуждаем аналогично, добавляя по очереди ещё 3 луча. Добавятся сначало 4 угла, затем 5 и, наконец, 6; т.е. всего добавится 15 тупых углов. А всего для 9 лучей будет 27 тупых углов.Точно также, считая для 12 лучей, получим дополнительно 6+7+8 = 21 тупых угла, а всего - 48.Можно было бы и далее продолжать таким способом, но мы замечаем закономерность.Пусть а1 = 3 - это первый член последовательности. Используя предыдущее значение (рекуррентно), можно вычислить следующее значение по формуле:, где n - число лучей кратное 3.Пробуем вычислить по этой формуле: Итак, ответ найден. Для 27 лучей возможно максимум 243 тупых угла.Так считать долго, можно увидеть формулу для прямого расчёта:По этой формуле можно считать для любого количества лучей, кратное трём.