Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Определить тип дифференциального уравнения и его метод решения
    [tex]y'= \frac{1+y^{2} }{1+ x^{2} } [/tex]
    [tex] y^{2} + x^{2} y'=xyy'[/tex]

Ответы 1

  • 1. Тип: дифференциальное уравнение первого порядка, с разделяющимися переменными.    \displaystyle \frac{dy}{1+y^2}= \frac{dx}{1+x^2}~~~~~\Rightarrow~~~~ \int \frac{dy}{1+y^2}= \int\frac{dx}{1+x^2}\Rightarrow~~~ arctg y=arctgx+C                                   y=tg(arctgx+C)  - общее решение ДУ.2. Тип: дифференциальное уравнение первого порядка, однородное.Можно убедиться, что данное ДУ является однородным, воспользовавшись условием однородности.                                  \displaystyle (\lambda y)^2+(\lambda x)^2y'=\lambda^2xyy'\\ \\ ~~~~~~~~y^2+x^2y'=xyy'Положим y=ux. Дифференцируя по правилу произведения: y'=u'x+u, имеем                              u^2x^2+x^2(u'x+u)=ux^2(u'x+u)\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0\\ \\ ~~~~u^2+u'x+u=uu'x+u^2\\ \\ ~~~~~~~~~u'x(u-1)=uПоследнее уравнение это ДУ с разделяющимися переменными  \displaystyle \frac{(u-1)du}{u} = \frac{dx}{x}~~~~~ \Rightarrow~~~~~ \int\bigg(1- \frac{1}{u} \bigg)du=\int \frac{dx}{x} ~~\Rightarrow~~\\ \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Rightarrow~~~~~ u-\ln|u|=\ln|x|+CПолучили общий интеграл относительно неизвестной функции u(x)Запишем теперь общий интеграл для нашего ДУ, осуществив замену u=y/x.                                \dfrac{y}{x} -\ln\bigg|\dfrac{y}{x}\bigg |=\ln|x|+C \\ \\ \dfrac{y}{x} -\ln|y|+\ln|x|=\ln|x|+C                      \dfrac{y}{x} -\ln|y|=C - ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ.

    • Автор:

      sassy71
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years