x*y'+y=x^3 помогите решить дифференциальные уравнения первого порядка.

x*y'+y=x^3
помогите решить дифференциальные уравнения первого порядка.
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  nathaliazcs0
- 5 лет назад

Ответы 1

Для удобства поделим левую и правую части дифференциального уравнения на x: $y'+ \frac{y}{x} =x^2$ Классификация: Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, линейное неоднородное.Данное дифференциальное уравнение можно решить двумя способами. Первое это метод Бернулли, а второе - метод Лагранжа. Приведу эти способы вместе. Метод Бернулли.Введём замену переменных $y=uv$ , тогда по правилу дифференцирования двух функций: $y'=u'v+uv'$ . Получим: $u'v+uv'+ \frac{uv}{x}=x^2$ $u'v+u(v'+\frac{v}{x})=x^2$ Это решение состоит из двух этапов: 1) это принять второе слагаемое равным 0; $v'+\frac{v}{x}=0$ - дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. $\dfrac{dv}{v} \displaystyle=- \frac{dx}{x} ;~~~~\Rightarrow~~~~ \int \frac{dv}{v}=-\int \frac{dx}{x} ;~~~~\Rightarrow~~~~ \ln|v|=-\ln|x|$ откуда получаем $v= \frac{1}{x}$ Поскольку второе слагаемое равняется нулю, то подставив найденную функцию v(x) в уравнение, получим $u'\cdot \frac{1}{x} =x^2\\ \\ u'=x^3\\ \\ u=\displaystyle \int x^3dx= \frac{x^4}{4} +C$ Тогда, осуществив обратную замену, общее решение данного ДУ: $y=\bigg(\displaystyle \frac{x^4}{4} +C\bigg)\cdot \frac{1}{x} =\frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$ Метод Лагранжа.Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения: $y'+ \frac{y}{x} =0$ - уравнение с разделяющимися переменными.Разделяя переменные и проинтегрировав, получим общее решение однородного уравнения: $\displaystyle \int \frac{dy}{y} =-\int \frac{dx}{x} ;~~~~~\Rightarrow~~~~~ y= \frac{C}{x}$ Примем константу за функцию, т.е. $C=C(x)$ и имеем $y= \dfrac{C(x)}{x}$ Тогда дифференцируя по правилу частности двух функций, получим $y'=\dfrac{xC'(x)-C(x)}{x^2}$ И тогда, подставив эти данные в исходное уравнение, получаем $\dfrac{xC'(x)-C(x)}{x^2} + \dfrac{C(x)}{x^2} =x^2\\ \\ \\ C'(x)=x^3;~~~~\Rightarrow~~~~ C(x)=\displaystyle \int x^3dx= \frac{x^4}{4}+C_1$ И, вернувшись к обратной замене, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения: $y=\displaystyle \frac{\frac{x^4}{4}+C_1 }{x} = \frac{x^3}{4}+ \frac{C_1}{x}$
- Автор:
  archer
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ