В правильной 3-угольной пирамиде с высотой 5√6 и стороной основания 5√2 через точку P , принадлежащую ребру АС так , что AP:PC=5:3 , проведено сечение пирамиды плоскостью , перпендикулярной ребру АС . Найдите площадь сечения S.

для начала, сечение перпендикулярной ребру АС - это треугольникдопустим он будет PMN, где MP⊥AC и NP⊥ACтак как пирамида правильная то высота проецируется в центр ее основания, то есть в точке биссектрис/медианов и высот Oиз ΔABK, AB=a, AK=a/2 где a сторона основанияпо Пифагору BK²=a²-(a/2)²  BK=(a√3)/2ΔCBK и ΔCNP похожи, значит CK:CP=BK:NP CK=a/2 так как BK так же медианамы знаем что P делит AC как 5։3 значит AP=5a/8 PC=3a/8получаем NP=(CP*BK)/CK=(3a/8)*((a√3)/2)/(a/2)NP=(3a√3)/8=3√3/8*5√2 =(15√6)/8мы знаем что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершинызначит BK делится на BO:OK=2:1 так как BK=(a√3)/2 то BO=(a√3)/3 OK=(a√3)/6 => BO=√3/3 * 5√2 =(5√6)/3 из Δ BSO знаем высоту и BO, по Пифагору получаем ребро пирамидыBS²=(5√6)²+ ((5√6)/3)²=150+150/3=200  BS=10√2знаем SA=SС=10√2  знаем AK=a/2=(5√2)/2 по Пифагору из ΔSAK получаем SK²=(10√2)²-((5√2)/2)²=200-50/4=750/4  SK=(5√30)/2ΔSKC и ΔMPC похожи =>MP:SK=CP:CKMP=CP*SK/CK=(3a/8)*((5√30)/2)/(a/2)=3/4 * (5√30)/2 =(15√30)/8треугольники ΔCBK и ΔCNP похожи => CP:PK=CN:NBтреугольники ΔCSK и ΔCMP похожи => CP:PK=CM:MCотсюда получаем CN:NB = CM:MC значит треугольники ΔCBS и ΔСNM тоже похожи а это значит SB║MN и MN:SB=CN:CBCN:CB=CP:CK=3a/8 : a:2 = 3:4MN:SB=3:4  => MN=SB*3/4=10√2 *3/4=(15√2)/2треугольник сечение ΔMNP с сторонами MN=(15√2)/2NP=(15√6)/8MP=(15√30)/8можно использовать формулу Герона S=где P полупериметр треугольника abc стороныможно еще опустить высоту с точки M на NP скажем MO1MO1:SO  тоже будет как 3։4 получим MO1=15√6/4и S(MNP)=MO1*NP/2 = 15√6/4 * (15√6)/8 / 2 = 225*6/64=675/32=21,09375