Провести полное исследование функции и построить ее график

[tex]y= \frac{(x-1)^2}{x^2} [/tex]

Спасибо большое

Дана функция у = (х-1)²/x².

1.Область определения функции. D ∈ R : x ≈ 0.

2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.

График функции пересекает ось X при f = 0.Значит, надо решить уравнение  (х-1)²/x² = 0.Решаем это уравнение (достаточно приравнять нулю числитель):

 (х-1)² = 0,   х-1 = 0,  х = 1.Точки пересечения с осью X:  (1; 0).

График пересекает ось Y, когда x равняется 0.Подставляем x = 0 в (x - 1)²/x².Результат: (0 - 1)²/0² невыполним, значит, график не пересекает ось Оу.

3. Промежутки знакопостоянства функции.

Так как переменная в числителе и знаменателе в квадрате, то функция на всей числовой оси только положительна.

4. Симметрия графика (чётность или нечётность функции).

f(-x) = ((-x) - 1)²/((-x)²) = (x + 1)²/x² ≠ f(x) ≠ -f(-x).

Поэтому функция не чётная и не нечётная.

5. Периодичность графика. Не периодична.

 6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты - смотри приложение.

7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Первая производная: y' = (1/x²)*(2x - 2) - (2/x³)*(x - 1)²или y' = (2x - 2)/x³.Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

(достаточно числитель): 2x-2 = 0Откуда: x1 = 2/2 = 1.

         (-∞ ;0)                            (0; 1)                       (1; +∞)

          f'(x) > 0                       f'(x) < 0                       f'(x) > 0

функция возрастает     функция убывает     функция возрастает.

В окрестности точки x = 1 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 1 - точка минимума.

8. Интервалы выпуклости, точки перегиба.Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x ight )} = 0.(вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции: \frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left (x ight )} = Вторая производная\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8ight) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1ight)^{2}ight) = 0Решаем это уравнениеКорни этого ур-нияx_{1} = \frac{3}{2}Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:Точки, где есть неопределённость:x_{1} = 0.\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8ight) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1ight)^{2}ight)ight) = \infty.\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{x^{2}} \left(2 - \frac{1}{x} \left(8 x - 8ight) + \frac{6}{x^{2}} \left(x - 1ight)^{2}ight)ight) = \infty.- пределы равны, значит, пропускаем соответствующую точку.Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:Вогнутая на промежутках(-oo, 3/2]Выпуклая на промежутках[3/2, oo)

9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты - смотри приложение.

10. Дополнительные точки, позволяющие более точно построить график - даны в приложении.

11. Построение графика функции по проведенному исследованию дан в приложении.