В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB проведены биссектриса CL, медиана CM, высота CN. Найдите площадь треугольника CLN, если площадь треугольника CNM равна 10, а CN:CM=2:3.

Так как СM медиана, то MC=MA или a=BAC=MCA, так как CL биссектриса прямого угла то MCL=a-45, также LCN=45-(90-a)=a-45, то есть CL биссектриса угла MCN. S-площадь треугольника, по свойству биссектрисы и условию получаем CN/CM =  LN/LM  = S(СNL)/S(CLM) = 2/3 S(CLN)=a, S(CLM)=b , получаем систему уравнений  {a/b=2/3  {a+b=10     {a=2b/3 {2b/3+b=10   {a=2b/3  {5b=30   {b=6  {a=4   Ответ S(CLN)=4