Последовательности [tex] x_{n} [/tex] и [tex] x_{n} ^{'} [/tex] - фундаментальные. Будет ли фундаментальна последовательность {[tex] x_{1} , x_{1} ^{'},x_{2}, x_{2} ^{'},.. } [/tex]}?

Не обязательно.Фундаментальная последовательность — последовательность, для любого ε > 0 начиная с какого-то места любые два члена отличаются менее, чем на ε.Рассмотрим две последовательности  и . Они фундаментальные, так как все члены равны, но последовательность 0, 1, 0, 1, ... — не фундаментальная, так как любые два соседних члена отличаются на 1.