при каких натуральных значениях n существует натуральное число m , при котором выполняется равенство m^3+10m^2+16m=3^n . Если таких значений несколько , то в ответе укажите наибольший из них.

Разложим левую часть на множители:m^3+10m^2+16m=3^n \\ \\ m(m+2)(m+8) = 3^nКаждый из трёх множителей должен быть степенью 3.m=3^a; m+2= 3^b; m+8 = 3^c;где a ≥0; b≥0; c≥0Из второго выражения вычтем первое:m+2-m= 3^b -3^a \\ 3^a(3^{b-a}-1)=2Отсюда, или 3^a = 2 и 3^{b-a}-1 =1, что невозможно; или 3^a=1 и 3^{b-a}-1=2. Тогда, a=0 и b=1.Аналогично, из третьего выражения вычтем первое:m+8-m= 3^c -3^a \\ 3^a(3^{c-a}-1)=8Отсюда получаем решение при a=0 и c=2,Итак, получаем единственное решение:m=3^0=1; m+2= 3^1 =3; m+8 = 3^2 =9; \\ \\ m=1Подставляем m=1 в исходное выражение:1^3+10*1^2+16*1=3^n \\ \\ 3^n = 27=3^3 \\ \\ n=3Ответ: 3