Трое ребят задумали по двузначному числу. Затем каждые два сыграли в такую игру они сравнили первые цифры своих чисел, и тот у кого цифра больше давая другому столько щелчков, на сколько больше его цифра , затем проделали тоже со вторыми цифрами. Могло ли так случиться, что всего они сделали 19 щелчков?

Рассмотрим ситуацию между двумя мальчиками. Пусть один задумал двузначное число, которое состоит из цифр A и B, а у другого число состоит из цифр C и D. Найдём разницу (A-C) и (B-D), которая определяет сколько щелчков один даст другому. Кто кому сколько - это неважно. Важно, что надо просуммировать все щелчки:(A-C) + (B-D) = (A+B) - (C+D)Оказывается, сумма щелчков равна разнице между суммой цифр чисел, задуманных двумя мальчиками. Поэтому, рассматривая только суммы цифр чисел, задачу можно упростить, фактически перейдя к рассмотрению только неких задуманных чисел.Начнём рассматривать ситуацию с тремя мальчиками. Возможны 4 варианта:1) Все три мальчика (М1, М2 и М3) задумали Нечётное число (Н); Найдём разницу (М1-М2) = Чётное (Ч), (М2-М3) = Чётное (Ч) и (М3-М1) = Чётное (Ч). Т.е. все три разницы будут чётными числами, сумма которых число тоже чётное.2) Все три мальчика задумали Чётное число (Ч);Находим разницу (М1-М2) = Ч, (М2-М3) = Ч и (М3-М1) = Ч. Все три разницы являются чётными числами, значит их сумма тоже число чётное. Кстати, порядок вычитания неважен, считайте, что все разницы берутся по модулю.3) Два мальчика задумали Чётное число (Ч), один - Нечётное (Н); Для определённости считаем, что Чёт у первых двух, т.к нет никакого различия, откуда начнём считать(М1-М2) = Ч - Ч = Ч; (М2-М3) = Ч - Н = Н; (М3-М1) = Н - Ч = НСуммируем, Ч + Н + Н = ЧОпять, число чётное.4) Два мальчика задумали Нечётное число (Н), один - Чётное (Ч);Рассуждаем аналогично, опять пусть у первых двух мальчиков Нечет.(М1-М2) = Н - Н = Ч; (М2-М3) = Н - Ч = Н; (М3-М1) = Ч - Н = НСуммируем, Ч + Н + Н = ЧВновь сумма чётная.Т.к. при любых задуманных числа, в итоге получается число Чётное, то никак не получится так, чтобы мальчике в сумме дали друг другу 19 щелчков.Ответ: Нет, не могло так случиться