Исследовать функцию y=x³-4,5x²+6x

Дана функция y=x³-4,5x²+6x

1. Область определения функции - вся числовая ось.

2. Функция f (x) = x³-4,5x²+6x непрерывна на всей области

определения. Точек разрыва нет.

3. Четность, нечетность, периодичность:

График четной функции симметричен относительно оси ОУ, а нечетной — относительно начала координат О.

 f(–x) = (–x)³–4,5(–x)²+6(-х) = –x³- 4,5x²- 6х ≠ f(-x),

f(–x) = (–x)³–4,5(–x)²+(-х) = –(x³+4,5x²+6х) ≠ –f(x)

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция

непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:

Ox: y=0, 

4x³–4,5x² + 6х = 0, 

x(4x²–4,5x + 6) = 0.

Один корень уравнения равен х = 0.

Второй множитель - квадратный трёхчлен. Его дискриминант равен

D=(-4.5)^2-4*1*6=20.25-4*6=20.25-24=-3.75;

Дискриминант меньше 0, уравнение не имеет корней.

Значит, имеем 1 точку пересечения с осью Ох: х = 0.

Она же является точкой пересечения с осью Оу: у = 0

Точка (0; 0).

5. Промежутки монотонности и точки экстремума:

Находим производную: y' = 3x²-9x+6 и приравниваем нулю.

y'=0 ⇒ 3x²-9x+6 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант: D=(-9)^2-4*3*6=81-4*3*6=81-12*6=81-72=9;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√9-(-9))/(2*3)=(3-(-9))/(2*3)=(3+9)/(2*3)=12/(2*3)=12/6=2;

x_2=(-√9-(-9))/(2*3)=(-3-(-9))/(2*3)=(-3+9)/(2*3)=6/(2*3)=6/6=1.

Имеем две критические точки: х = 1 и х = 2 и три промежутка монотонности функции (-∞; 1), (1; 2) и (2; +∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = 0 1 1,5 2 3

y' = 6 0 -0,75 0 6 .

Отрезки  (-∞; 0) и (2; +∞)   функция возрастает,

отрезок (1; 2)   функция убывает,

7. Вычисление второй производной:

f '(x) = 3x² - 9x + 6. f ''(x) = 6x - 9.

y''= 0, 6x–9 = 0, x = 9/6 =3/2.

Точка ((3/2); 2,2963)

 8. Промежутки выпуклости и точки перегиба:

отрезок (-∞; (3/2)  график функции выпуклый вверх,

точка перегиба х = 3/2,

отрезок ((3/2); +∞)  график функции выпуклый вниз.

9. Таблица точек:

x y

-1.0 -11.5

-0.5 -4.2

0 0

0.5 2

1.0 2.5

1.5 2.3

2.0 2

2.5 2.5

3.0 4.5

3.5 8.8

4.0 16

10. Искомый график функции в приложении.