Вася записал в тетрадь целые числа $$x, y, z$$. А Петя в свою тетрадь записал числа $$x-3, y+3, z^2$$. Оказалось, что три числа, записанные Васей, совпали с тремя числами, записанными Петей. Найдите значение выражения $$x^2+y^2+z^2$$ , если $$x+y+z=454$$.
Ответить

Ясно, что x-3 не может равняться x, и y+3 не может равняться y.Нужно решить три системы:1){ x=y+3{ y=z^2{ z=x-3{ x+y+z=454Из 1 и 3 уравнения получаемz=x-3=y+3-3=yИз 2 уравненияy=z^2=z=0 или 1; тогда x=3 или 4.Но тогда x+y+z=454 не может быть.2){ x=z^2{ y=x-3{ z=y+3{ x+y+z=454Из 2 и 3 уравненийz=y+3=x-3+3=xИз 1 уравнения x=z^2=z=0 или 1; тогда y=-3 или -2.Опять x+y+z=454 не может быть.3){ x=y+3{ y=x-3{ z=z^2{ x+y+z=454Эта система единственная решаемая.z=z^2 только если z=0 или 1.Первые два уравнения одинаковы: x-y=3x+x-3+z=4542x+z=457Учитывая, что числа целые, получаем, что z может равняться только 1.2x=457-1=456x=456/2=228; y=x-3=225; z=1x^2+y^2+z^2=228^2+225^2+1^2=102610Ответ 102610