Две параболы y=2x^2+ax+b и y=-5x^2+cx+d касаются в точке, лежащей на оси Ox. Через точку D – вторую точку пересечения первой параболы с осью Ox – проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке A, а общую касательную к параболам – в точке B. Найдите отношение DA:DB. 

По условию парабола у=2x2+ax+b пересекает ось Ох дважды, т.е квадратное уравнение 2x2+ax+b=0 имеет два корня хо и хD 2x2o+axo +b=0 2х2D+axD+b=0 вычтем 2(x2o–x2D)+а·(xo–xD)=0 ((xo–xD)·(2xo+2xD+а)=0 xo–xD≠0, точки по условию различны. Значит 2xo+2xD+а=0 (xo+xD)=–a/2 (# 1) точка касания расположена на оси Ox, значит (xo;0) Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b. f(x)=2x2+ax+b f(xo)=0, f`(x)=4x+a f`(xo)=4xo+a y–0=(4хо+a)·(x–xo) – уравнение касательной к первой параболе. Составим уравнение касательной к параболе у=2x2+ax+b. f(x)=–5x2+сx+d f(xo)=0, f`(x)=–10x+c f`(xo)=–10xo+c y–0=(–10хо+c)·(x–xo) – уравнение касательной ко второй параболе. Касательная общая, значит 4хо+a=–10хо+c ( угловые коэффициенты равны) 14xo + a – c =0 xo=(c–a)/14 ( # 2) У точек А;В и D – одинаковые абсциссы. Найдем ординаты. Точка А лежит на второй параболе Точка В на касательной А(xD;–5x2D+cxD+d) В(хD;(4хо+a)(xD–xo) D(хD; 0) |AD|=|–5x2D+cxD+d| –5x2o+сxo +d=0 d=5x2o–сxo |AD|=|–5x2D+cxD+5x2o–сxo|= =|xo–xD|·|5xo+5xD–c| |ВD|=|xo–xD|·|4xo+a| |DА|:|DВ|=|5xo+5xD–c|/|4xo+a| так как (xo+xD)=–a/2 ( # 1) xo=(c–a)/14 ( # 2) |DА|:|DВ|=|5xo+5xD–c|/|4xo+a|= =|5·(–a/2)–c|/|(4·(c–a)/14)+a|= =|(–5a–2c)/2|/|(2c+5a)/7|=7/2 Ответ:7/2