6.9.

Ищем общее решение Y однородного уравнения:

Характеристическое уравнение:

Имеем два сопряжённых комплексных корня характеристического уравнения:

следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:
)
Подставляем наши значения:
 + C_2 sin (1*x)) = C_1 cos x + C_2 sin x)
Т.к. правая часть содержит степенную функцию, то частное решение ищем в виде:

Используем метод неизвестных коэффициентов, чтобы найти наши A, B, C, D, для чего предполагаемую функцию и её вторую производную подставляем в исходное уравнение:
x + (2B+D) = x^3-4x^2+7-10 \\ \\ \\ A = 1 \\ B= -4 \\ 6A+C = 7; C=7-6*1= 1 \\ 2B+D = -10; D = -10 -2*(-4) = -2)
Итак, частное решение такое:

Суммируем общее и частное решения Y + y:

Находим частное решение по начальным условиям:y(0) = 2; y'(0) = 3Находим производную:
' = \\ \\ =-C_1 sinx + C_2 cosx +3x^2 -8x +1)
Подставляем начальные значения в у и у'
 = C_1 cos 0 + C_2 sin 0 + 0^3-4*0^2+0-2 = C_1 - 2 =2; C_1= 4 \\ \\ y'(0) = -C_1 sin0 + C_2 cos0 +3*0^2 -8*0 +1 =C_2 +1 =3; C_2= 2)
Благодаря начальным условиям нашли неизвестные коэффициенты

, а требуемое решение выглядит так: