Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 9 дм. В треугольник вписан круг. Вычисли площадь вписанного круга. (π≈3; ответ округли до сотых).

ΔABC

AB = AC = BC = 9 дм

вписанная в ΔABC окружность

S (площадь вписанного в ΔABC круга) - ?

Если мы знаем и умеем доказывать, что в равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен AB / (√3 · 2), то мы сразу говорим, что:

                       r = AB / (√3 · 2) = 9 / (√3 · 2) = 4.5 / √3 (дм),

и дальше сразу ищем площадь круга.

• Если мы вдруг не знаем этого, то алгоритм действий может быть следующим:

Центр вписанной окружности O - это точка пересечения биссектрис треугольника AD, BE и CF.

Рассмотрим, например, ΔAOE. Он прямоугольный: ∠AEO = 90°.

Так как AO - биссектриса ∠BAC, то ∠OAE = ∠BAC / 2 = 60° / 2 = 30°.  Значит, 2 · EO = AO.

При этом AE = AC / 2 = 4.5 (дм), и OE - как-раз радиус r вписанной окружности, так как BE - одновременно биссектриса, медиана и высота равностороннего треугольника.

Теорема Пифагора для ΔAOE:

         AE² + OE² = AO²

         AE² + r² = (2 · r)²

         AE² = 3 · r²

         4.5² = 3 · r²

         r = 4.5 / √3 (дм)

• Теперь мы точно можем найти площадь круга!

S = π r² = π · (4.5 / √3)² = 6.75 π ≈ 20.25 (дм²)