1.    
У Марии был прямоугольник M×N клеток. Костя вырезал из
него угловой квадратик 6×6, после чего Ира одним прямолинейным разрезом
разделила оставшийся кусок на три треугольника. Чему могли равняться M и N?
Приведите все варианты и объясните, почему других нет.

Прямолинейный разрез пройдет по диагонали прямоугольника со сторонами M и N, иначе три треугольника не получатся.Составим выражение тангенса угла между диагональю и стороной N. Из одного из получившихся треугольников он будет равен (M-6)/6. Из второго получившегося треугольника тангенс этого же угла будет равен 6/(N-6). Приравнивая, получаем (M-6)/6=6/(N-6). Приводим к общему знаменателю и получаем равенство (N-6)*(M-6)=36. Учитывая, что N и M больше 6, иначе квадратик 6х6 не вырезать, получаем три возможных варианта чисел, дающих в произведении 36: 36 и 1, 18 и 2, 12 и 3, 9 и 4. 6 и 6 не подходит, т.к MN - прямоугольник, а не квадрат. Соответственно стороны на 6 больше.Ответ: 42 и 7, 24 и 8, 18 и 9, 15 и 10