y=x^3-15x^2+72x-109 исследовать функцию и построить ее график

ДАНО

Y= x³ - 15*x² + 72*x - 109 = 0.

1.Область определения D(x) - Х∈(-∞;+∞) - непрерывная.

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y= 0 Корни: х₁ ≈3.12, x2 ≈ 5.35 х₃ = 6.53. 

3. Пересечение с осью У.  У(0) = - 109. 

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = - ∞  limY(+∞) = +∞.

Горизонтальной асимптоты - нет. 

5. Исследование на чётность.Y(-x) ≠ - Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная. 

6. Производная функции.Y'(x)= 3*x² - 30*х + 72 = 3*(х-4)*(х -6) = 0.   . 

Корни: х₁=4 , х₂ = 6. 

Схема знаков производной. Функция отрицательна между корнями

_ (-∞)__(>0)__(x1=4)___(<0)___(x2=6)__(<0)_____(+∞)__

7. Локальные экстремумы. 

Максимум Ymax(4)= 3, минимум – Ymin(6)= -1. 

8. Интервалы монотонности.

Возрастает - Х∈(-∞;4]∪[6;+∞) , убывает = Х∈[4;6]. 

8. Вторая производная - Y"(x) = 6*x - 30 =  6*(x - 5)=0. 

Корень производной - точка перегиба Y"(1)= 5. 

9. Выпуклая “горка» Х∈(-∞;5], Вогнутая – «ложка» Х∈[5;+∞). 

10. Область значений Е(у) У∈(-∞;+∞) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(oo)(k*x+b – f(x).  

k=lim(oo)Y(x)/x = ∞. Наклонной асимптоты - нет

12. График в приложении.