В правильной треугольной пирамиде SABC (с вершиной S) сторона основания равна 3, а боковое ребро √10. Точка M - середина SB. Найдите угол между прямой AM и плоскостью ABC. Ответ должен получиться 30°.

Высота h основания равна: h = а√3/2 = 3√3/2.Проекция бокового ребра на основание равна (2/3)h = √3.Высота пирамиды Н = √((√10)² - (√3)²) = √(10 - 3) = √7.Расстояние точки М от основания равно половине высоты пирамиды:МК = √7/2.Проекция АК отрезка АМ на основание равна:АК = √((3/4)*3)² + (√3/4)²) = √((81/16) + (3/16)) = √84/4 = √21/2.Отсюда находим угол α наклона отрезка АМ к плоскости АВС.tg α = МК/АК = (√7/2)/(√21/2) = √(7/21) = 1/√3.Угол α равен  0,523599 радиан или 30°.  Эту же задачу можно решить векторным способом.Примем начало координат в точке А, ось Оу по стороне АВ.Координаты точек:А(0; 0; 0), М((√3/4); (9/4); (√7/2)), К((√3/4); (9/4); 0).Вектор АМ:((√3/4); (9/4); (√7/2)), вектор АК: ((√3/4); (9/4); 0).Модули их равны:АМ =  √7 ≈  2,645751 АК = √5,25 ≈ 2,291288.cos α = ((3/16) + (81/16))/(√7*√(21/4)) = (21/4)/(7√3/2) = √3/2.α = arc cos(√3/2) = 30°.