y=1/1-x^2 Помогите исследовать функцию и построить график

y=1/1-x^2 Помогите исследовать функцию и построить график
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  damionchristian
- 6 лет назад

Ответы 1

Исследовать функцию и построить график $y = \frac{1}{1- x^{2}}$ 1) Область определения функции $1- x^{2} eq 0 \\ x eq \pm 1$ 2) Точки пересечения графика функции с осью OY $y (0) = \frac{1}{1- 0^{2}} = 1$ точка пересечение (0; 1)
3) Исследуем функции на четность
$y(-x) = \frac{1}{1- (-x)^{2}} = \frac{1}{1- x^{2}}$
Так как $f(-x) = f(x)$ , то функция является четной
4) Функция имеет две точки разрыва -1 и 1 , поэтому график функции имеет две вертикальные асимптоты  х =-1 и х =1.
Найдем наклонные асимптоты $y = k*x + b$ , где
$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{x(1-x^2)} = \frac{1}{ \infty} = 0$
Так как k=0, то наклонных асимптот нет, а есть горизонтальные.
Найдем теперь коэффициент b.
$b= \lim_{x \to \infty} [f(x)-kx] = \frac{1}{1- x^{2}} = \frac{1}{ \infty} = 0$
Подставляем найденные коэффициенты в формулу y = kx + b, получаем, что y = 0 - горизонтальная асимптота.
5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0
$y' = (\frac{1}{1- x^{2}})' = \frac{1' * (1- x^{2} ) - 1*(1-x^2)'}{(1- x^{2} )'} = \frac{2x}{(1-x^2)^2}$
Тогда
$\frac{2x}{(1-x^2)^2} = 0 \ \Rightarrow \ x =0$
Получилась одна критическая точка.
6) Найденные точки разрыва и точки экстремума, разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной (у') на каждом интервале.
x         x<-1       -1<x<0      0             0<x<1     x>1
y'       -             -                0             +             +

y         убыв. убыв.     1             воз.        воз.
В точке экстремума (х=0) производная меняет знак с "-" на "+" значит это точка минимума.
7) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную

$y'' = ( \frac{2x}{(1- x^{2} )^2} )' = \frac{2(1- x^{2} )+8 x^{2} }{(1- x^{2} )^3} = \frac{2+6 x^{2} }{(1- x^{2} )^3}$

Решаем методом интервалов

$\frac{2+6 x^{2} }{(1- x^{2} )^3} =0$

$2(1- x^{2} )+8 x^{2} = 0 \ \bigcup \ }{(1- x^{2} )^3 eq 0$
Корней нет, значит точек перегиба нет и $x eq \pm1$

Отмечаем на числовой прямой все найденные точки разрыва и критические точки , в нашем случае это точки –1; 0 ; 1.

Методом интервалов определяем знаки   $f''(x)$ на полученных интервалах.

Интервал X < -1 ,

f''(x) = "–" < 0 - график функции является выпуклым на данном интервале;

Интервал – 1 < X < 1 ,

f''(x) = "+" > 0 - график функции является вогнутым на данном интервале;

Интервал X > 1 ,

f''(x) = "–" < 0 - график функции является выпуклым на данном интервале;

8) Построим график функции. Данные для построения и сам график, представлены ниже
- Автор:
  chelseamatthews
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ