Пусть S(n) и K(n) обозначают сумму всех цифр и сумму квадратов всех цифр
натурального числа n соответственно.
а) Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 2S(n) + 23?
б) Существует ли такое натуральное число n, что K(n) = 3S(n) + 23?
в) Для какого наименьшего натурального числа n выполнено равенство K(n) = 8S(n) + 83?

S(n) = a(1) + a(2) + ... + a(n); K(n) = a(1)^2 + a(2)^2 + ... + a(n)^2

а) K(n) = 2*S(n) + 23

a(1)^2 + a(2)^2 + ... + a(n)^2 - 2*(a(1) + a(2) + ... + a(n)) = 23

(a(1)^2 - 2*a(1)) + (a(2)^2 - 2*a(2)) + ... + (a(n)^2 - 2*a(n)) = 23

a(1)*(a(1) - 2) + a(2)*(a(2) - 2) + ... + a(n)*(a(n) - 2) = 23

Выпишем произведения x(x - 2) для различных x:

1(-1)=-1; 2*0=0; 3*1=3; 4*2=8; 5*3=15; 6*4=24; 7*5=35; 8*6=48; 9*7=63

Подходящие числа, например: 16, 45, 54 или 61.

б) Точно также составляем уравнение:

K(n) = 3*S(n) + 23

a(1)*(a(1) - 3) + a(2)*(a(2) - 3) + ... + a(n)*(a(n) - 3) = 23

Выпишем произведения x(x - 3) для различных x:

1(-2)=-2; 2(-1)=-2; 3*0=0; 4*1=4; 5*2=10; 6*3=18; 7*4=28; 8*5=40; 9*6=54

Как видим, все произведения - четные, значит, и их сумма тоже будет четной. Число 23 - нечетное, и суммой быть не может.

Ответ: не существует.

3) Опять составляем уравнение:

K(n) = 8*S(n) + 83

a(1)*(a(1) - 8) + a(2)*(a(2) - 8) + ... + a(n)*(a(n) - 8) = 83

Любое произведение x(x - 8) будет отрицательным, кроме x = 8 или 9.

Так как 83 > 9*9, то нужно как минимум 10 девяток, которые дадут сумму

10*9(9 - 8) = 10*9*1 = 90.

Чтобы теперь получить 83, нужно вычесть 7, то есть еще одна цифра 1.

1(1 - 8) = -7.

Ответ: 19 999 999 999 - единица и 10 девяток.