Высота и биссектриса прямоугольного треугольника, проведенные из прямого угла к гипотенузе, равны соответственно 3 и 4. Тогда площадь треугольника равна

Высота Н и биссектриса Б прямоугольного треугольника АВС, проведенные из прямого угла к гипотенузе, равны соответственно 3 и 4.

Угол α между Н и Б равен половине разности углов С и А треугольника АВС.

Составим систему:

(С  -  А)/2 = α или С - А = 2α

                             С + А = 90°.

                                  --------------

                             2С = 90° + 2α,

С = (90° + 2α)/2 = 45° + α.

На основе задания α = arc cos (3/4) =  0,722734 радиан =

41,40962°.

Тогда С = 45° + 41,40962° =  86,40962°.

Угол А равен 90° -   86,40962° = 3,59038°.  

Синусы углов С и А равны соответственно 0,99804

 и  0,06262 .

Тогда катеты равны:

АВ = 3/sin A = 3 / 0,06262  = 47,9058,

BC = 3/sin A = 3 / 0,99804   = 3,0059.

Искомая площадь равна:

 S = (1/2)АВ*ВС = (1/2)*  47,9058*3,0059  = 72 кв.ед.