• /Задачка из эстонской олимпиады Кенгуру, 7-8 класс, 5 баллов/

    Точки L, M и N лежат на сторонах равностороннего треугольника ABC так, что отрезок ML перпендикулярен стороне AB, NM перпендикулярен стороне BC, а LN перпенликулярен стороне AC. Площадь треугольника ABC равна 36. Найди площадь треугольника LMN.
    А: 9 B: 12 C: 15
    D: 16 E:18
    Желательно с объяснением.

    question img

Ответы 1

  • Так как треугольник правильный, то все его углы равны 60°. Рассмотрим треугольник MLB. Угол LBM=60°, тогда угол BML=30°. Пусть LB=х. Тогда MB=2х, так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. По теореме Пифагора найдем ML: LM= \sqrt{MB^2-LB^2} =\sqrt{4x^2-x^2} =x \sqrt{3} Сторона исходного треугольника равна: AB=AL+LB=MB+LB=2x+x=3x По построению, треугольник LMN правильный, значит он подобен с треугольником ABC. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента пропорциональности:  \dfrac{S_{LMN}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{LM}{AB} ight)^2 \\\
  S_{LMN}= \left(\dfrac{LM}{AB} ight)^2 \cdot S_{ABC} \\\ S_{LMN}=
  \left(\dfrac{x \sqrt{3} }{3x} ight)^2\cdot 36= \dfrac{1}{3} \cdot
  36=12 Ответ: 12
  • Добавить свой ответ

Войти через Google

или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years