докажите что для всех натуральных n выполняется неравенство n!<=((n+1)/2)^n

Ответы 1

Требуется доказать, что для всех натуральных n $n! \leq \left(\frac{n+1}{2}ight)^n$ 1) При n=1 неравенство левая и правая части равны: 1=1.При n=2 неравенство справедливо: 2<2,25.2) Левая часть $a_n=n!$ при переходе от $a_n$ к $a_{n+1}$ увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть $b_n=\left(\frac{n+1}{2}ight)^2$ при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Иными словами, будем доказывать, что $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(\frac{n+2}{2}ight)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{2}ight)^n}\ \textgreater \ n+1.$ Упрощая, приводим это неравенство к $(n+2)^{n+1}\ \textgreater \ 2(n+1)^{n+1}$ .Заменив n+1 на k, получаем неравенство $(k+1)^k\ \textgreater \ 2k^k,$ причем $k \geq 2.$ Используя бином Ньютона, получаем $k^k+k\cdot k^{k-1}+\ldots= k^k+k^k+\ldots=2k^k+\ldots \ \textgreater \ 2k^k.$ Неравенство доказано.
- Автор:
  dayanara
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ