Среди любых n+1 натуральных чисел найдутся два числа таких, что их разность делится на n.

доказать это очень просто.Если взять любые n чисел, то они при делении на n могут дать ровно n разных остатков, от 0 до (n-1).(n+1)-ое число тоже будет иметь один из этих n остатков.То есть его остаток будет равен остатку какого-то из n первых чисел.Разность этих чисел и будет делиться на n.Пусть, например, n=5.Возьмем 5 чисел с разными остатками от деления на 5.Это будут остатки 0,1,2,3,4.10, 21, 7, 13, 59.Любое 6-ое число тоже будет иметь один из таких остатков.5: 20-5=511: 21-11=1032: 32-7=253: 13-3=1014: 59-14=45Всегда можно подобрать такое число, что разность будет делиться на 5.