В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC провели медиану AM . Из точки M на боковую сторону опустили перпендикуляр MH. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если ABC~CAM и BH=9✓14 .

Из условия, что  треугольники ABC и CAM подобны, вытекает равенство АМ и АС.Используем формулу медианы:ma = (1/2)*√(2b²+2c²-a²).Для равнобедренного треугольника АВС стороны АВ (с) и ВС (а) равны а.Получим с учетом АМ = АС = в:b= (1/2)√(2b²+a²).2b= √(2b²+a²) возведём в квадрат.4b² = 2b²+a².2b² = a².b = a/√2.Находим косинус угла С при основании треугольника.cos C = (b/2)/a = a/)2√2*a) = 1/(2√2) = √2/4.Для прямоугольного треугольника BCF cos C = sin(B/2).Находим cos(B/2) = √(1 - sin²(B/2)) = √(1 - (2/16)) = √(7/8).Тогда косинус угла В как двойного по отношению к (В/2) равен:cos B = cos²(B/2) - sin²(B/2) = (7/8) - (2/16) = 6/8 = 3/4.Теперь можно определить длину боковых сторон из треугольника ВМЕ, где его гипотенуза ВМ равна половине стороны ВС (а).а = 2*ВЕ/(cos B) = 2*9√14/(3/4) = 24√14.Основание АС (в) и медиана АМ равны а/√2 = 24√14/√2 = 24√7.Высота BF равна:BF = √(а² - (в/2)²) = √((24√14)² - (12√7)²) = √( 8064 -1008) = √7056 = 84.Площадь S треугольника АВС равна:S = (1/2)AC*BF = (1/2)*24√7*84 = 1008√7.Отсюда находим искомый радиус описанной около треугольника АВС окружности:R = a²b/(4S) = ((24√14)²*24√7)/(4*1008√7) = 8064/168 = 48.