1) Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных

1) Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел:
3xi-4+5y=9i+2x+3yi

2) Выполнить действия и результат записать в тригонометрической форме:
а) [tex] \frac{2i ^{5} }{1+i ^{17} } [/tex]

б)[tex] \frac{(1-i) ^{5} }{(1+i)^{3}} [/tex]
- Предмет:
  Математика
- Автор:
  ladislaodavidson
- 6 лет назад

Ответы 1

1) $3xi-4+5y=9i+2x+3yi$ Соберём мнимые и вещественные части вместе: $(5y-4) + 3xi = 2x + (3y+9)i$ Мнимые и вещественные части д.б. равны, отсюда получаем систему уравнений, которую решаем: $\left \{ {{5y-4=2x} \atop {3x=3y+9}} ight. \\ \\ x = y + 3 \\ \\ 5y - 4 = 2(y + 3) \\ 5y - 4 = 2y + 6 \\ 3y = 10 \\ \\ y= \frac{10}{3}; \:\:\:\:\: x = \frac{10}{3} + 3 = \frac{19}{3}$ 2) $\frac{2i^5}{1+i^{17}}$ Возведём мнимую единицу в соответствующую степень, учитывая, что: $i^2 = -1; \:\:\:\:\:\: i^4 = 1$ $\frac{2i^5}{1+i^{17}} = \frac{2i*i^4}{1+i*i^{16}} = \frac{2i}{1+i}$ Деление мнимых чисел производится умножением числителя и знаменателя на выражение сопряжённое со знаменателем. $\frac{2i}{1+i} = \frac{2i}{1+i} * \frac{1-i}{1-i} = \frac{2i - 2i*i}{1-i^2} = \frac{2i+2}{1+1} = i + 1$ Вещественная часть комплексного числа равна a = 1, мнимая часть тоже равна b = 1.Найдём модуль комплексного числа |z|: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ Найдём аргумент комплексного числа, используя формулу: $arg(z) = \phi = arctg \frac{b}{a}$ При этом надо учитывать следующие случаи:1. если a>0, то $\phi = arctg \frac{b}{a}$ 2. если a<0 и b>0, то $\phi = \pi + arctg \frac{b}{a}$ 3. если a<0 и b<0, то $\phi = - \pi +arctg \frac{b}{a}$ У нас первый случай: $\phi = arctg \frac{b}{a} = arctg \frac{1}{1} = arctg 1 = \frac{ \pi }{4}$ Отсюда, тригонометрическая форма будет такая: $z = |z|* (cos \phi + isin \phi) = \sqrt{2} (cos \frac{ \pi }{4} + isin \frac{ \pi }{4} )$ 3) $\frac{(1-i)^5}{(1+i)^3}$ Делаем аналогично. $\frac{(1-i)^5}{(1+i)^3} = \frac{1-5i+10i^2-10i^3+5i^4-i^5}{1+3i+3i^2+i^3} = \\ \\ = \frac{1-5i-10+10i+5-i}{1+3i-3-i} = \frac{-4+4i}{-2+2i} = \frac{-4(1-i)}{-2(1-i)} = 2 \\ \\ a = 2; \:\:\:\:\:\: b = 0 \\ \\ |z| = \sqrt{2^2+0^2} = 2 \\ \\ \phi = arctg \frac{0}{2} = 0 \\ \\ z = 2(cos0 + isin0)$
- Автор:
  allissonwebster
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

Ответы 1

Топ пользователей