Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак объемом 6, 28 м3. Каким должны быть его радиус и высота, чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество листовой стали?

Ответы 1

  • Обозначим: h - высота цилиндра, R - радиус его основания Объем бака:                          \displaystyle V= \pi R^{2}hПлощадь полной поверхности бака:                          \displaystyle S=2 \pi R^{2}+2 \pi RhВ качестве независимой переменной выберем радиус основания R.Выразим h через R при заданном объеме V:                                                                                \displaystyle h= \frac{V}{ \pi R^{2}} Исследуем площадь поверхности S(R) на экстремумПодставляем h:                               \displaystyle S(R)=2 \pi R^{2}+2 \pi Rh=2 \pi R^{2}+2 \pi R* \frac{V}{ \pi R^{2}}=2 \pi R^{2}+ \frac{2V}{R} Вычисляем производную:\displaystyle S'(R)=(2 \pi R^{2}+ \frac{2V}{R})'=4 \pi R- \frac{2V}{R^{2}}= \frac{4 \pi R^{3}-2V}{R^{2}}                        Находим стационарные точки:            \displaystyle S'(R)=0 \\ \\ \frac{4 \pi R^{3}-2V}{R^{2}}=0 \\ \\ \\ \left \{ {{4 \pi R^{3}-2V=0} \atop {R^{2} eq 0}} ight. \\ \\ \\ R= \sqrt[3]{ \frac{V}{2 \pi } }= \sqrt[3]{ \frac{6,28}{2*3,14}}= \sqrt[3]{1}=1 Так как при переходе через это значение R производная меняет знак с минуса на плюс, то данное значение R соответствует минимальной площади поверхности S(R).Вычислим высоту найденного цилиндра:\displaystyle h= \frac{V}{ \pi R^{2}}= \frac{V}{ \pi ( \sqrt[3]{V/2 \pi })^{2}}= \frac{V \sqrt[3]{4 \pi ^{2}}}{ \pi \sqrt[3]{V^{2}}}= \frac{ \sqrt[3]{4V}}{ \sqrt[3]{ \pi }}= \sqrt[3]{ \frac{4V}{ \pi } } Подставим значение объема из условия:               \displaystyle h= \sqrt[3]{ \frac{4*6,28}{3,14}}= \sqrt[3]{8}=2 Таким образом, площадь поверхности цилиндра с объемом 6,28 м³ будет минимальной при высоте h = 2 м и радиусе основания R = 1 м.Осевое сечение такого цилиндра представляет собой квадрат.

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years