Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник,
делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан треугольник ABC, AB - гипотенуза. Пусть M -- точка касания окружности с AB, K -- с AC, F -- с CB.По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,AK = AM = 6 смBF = BM = 4 смCK = CFОбозначим за x см отрезок CK. Найдём стороны треугольника ABC:AB = AM + BM = 6 + 4 = 10 смAC = AK + CK = (6 + x) смBC = BF + CF = (4 + x) смНайдём x по теореме Пифагора:AC² + BC² = AB²(6 + x)² + (4 + x)² = 10²36 + 12x + x² + 16 + 8x + x² = 1002x² + 20x - 48 = 0x² + 10x - 24 = 0x₁ = 2x₂ = -12 (не подходит, так как меньше нуля)x = 2, откудаAC = AK + CK = 6 + x = 6 + 2 = 8 смBC = BF + CF = 4 + x  = 4 + 2 = 6 смPΔABC = AC + CB + AB = 8 + 6 + 10 = 24 смОтвет: 24 см