Пользуясь признаками исследовать сходимость ряда 1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 + ...

Там интеграл от 1 до беск, но не смог нормально записать в этой штуке

Можно было ещё по признаку сравнения прогнать : 1/(2n*2n)<1/((2n-1)*2n)<1/((2n-1)(2n-1)), как известно ряд 1/n^2 = 0, ряд 1/(n-1)^2=0, по признаку сравнению 0< твой ряд < 0 => твой ряд = 0

Запишем этот ряд в виде суммыСумма от 1 до n  1/((2n-1)*2n)Переведём в интеграл по интегральному признаку Кошиint от 1 до беск (как-то криво это делается) Находим этот интеграл и профит =0.5 * ln|(2x-1)/x)|= 0.5*ln|2-1/x|=0.5*(ln(2-1/inf) - ln (2-1/1)=0.5*ln(2/1)=0.5ln2 , ряд сходится (где-то знак потерян, судя по тому, что ln2<0 )Ну или способ проще : Разбиваем каждый элемент суммы на разность: 1/(1*2)= 1- 1/2 1/(2*3)= 1/2-1/3 и получаем что-то типа (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...=1-1/2n = 1 , ряд сходитсяupdМожно было ещё по признаку сравнения прогнать : 1/(2n*2n)<1/((2n-1)*2n)<1/((2n-1)(2n-1)), как известно ряд 1/n^2 = 0, ряд 1/(n-1)^2=0, по признаку сравнению 0< твой ряд < 0 => твой ряд = 0upd 2 1/(a*b)= [1/(b-a)]*(1/a-1/b) = [1/(b-a)] * ((b-a)/(b*a)) ,  поэтому во втором способе сумма так раскладывается