Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно [tex] 3\sqrt{3}[tex]  , а высота, опущенная на основание, равна отрезку, соединяющему середину основания с серединой боковой стороны.

ΔАВС - равнобедренный, АВ=ВС, АС=3√3 ,  ВН⊥АС , ВМ=МС , ВН=МН.Так как высота ВН равнобедренного ΔАВСявл. ещё и медианой , тоточка Н - середина основания АС. Точка  М - середина стороны ВС, тогда МН - средняя линия ΔАВС, она равна половине параллельной ей стороны АВ, МН=1/2*АВ=1/2*ВС=ВМ  ⇒  МН=ВМ , но МН=ВН (по условию)  ⇒  ΔВМН - равносторонний  ⇒  все его углы = 60°  ⇒ ∠АВС=120°, т.к.высота ВН явл. ещё и биссектрисой равнобедренного ΔАВС.Тогда  ∠ВАС=∠ВСА=(180°-120°):2=30° .АН=1/2*АС=1/2*3√3 .Рассмотрим ΔАВН:  cos∠ВАС=ВН/АB  ⇒  AB=AH/cos∠ВАС ,