В треугольнике авс высоты, проведённые к сторонам АС, ВС и ВС соответственно равны 15,35 и 21
Найдите: 1) площадь треугольника 2)сторону АВ 3)сторону ВС 4)сторону АС 5)радиус описанной окружности 6)радиус вписанной окружности 7)медиану, проведённую к стороне ВС 8)Биссектрису, проведённую из вершины В

Дано: 

В треугольнике АВС высоты, проведённые к сторонам АС, ВС и АВ соответственно равны hb=15,ha=35 и hc=21. Найти: 1) площадь треугольника  2) сторону АВ  3) сторону ВС  4) сторону АС  5) радиус описанной окружности  6) радиус вписанной окружности  7) медиану, проведённую к стороне ВС  8) биссектрису, проведённую из вершины В. Используем равенства:  Отсюда выводим пропорции То есть, искомый треугольник со сторонами a, b, c подобен треугольнику ВА1С1 со сторонами  Значение   равно 15*35/21 = 25.

Для треугольника ВА1С1 найдём высоту из вершины В.

Для этого найдём площадь ВА1С1 по Герону:

полупериметр р = (15+35+25)/2 = 75/2 = 37,5.

S(BA1C1) = √(37,5*2,5*22,5*12,5) = √26367,1875 ≈  162,3797632.

Тогда высота в этом треугольнике из вершины В равна:

h'(B) = (2S(BA1C1))/(h(A1C1)) = (2*162,3797632)/35 = 9,278844.

Отсюда находим коэффициент пропорциональности:

к = 15/9,278844 = 1,616581.

Теперь находим искомые длины сторон:

2) сторона АВ (c) = 1,616581*25 = 40,41452,

3) сторона BС (a) = 1,616581*15 =  24,24871,

4) сторона AС (b) = 1,616581*35 = 56,58033,

1) площадь треугольника АВС = (1/2)АС*hb =

= (1/2)*56,58033*15 = 424,35245 кв.ед.

5) радиус описанной окружности R = (abc)/(4S) = 32,66667.

6) радиус вписанной окружности r = S/p = 424,35245/60,62178 = 7.

7) медиану, проведённую к стороне ВС :

ma = (1/2)√(2b²+2c²-a²) = 47,64802.

8) биссектрису, проведённую из вершины В:

βb = (2/(a+c))*√(acp(p-b)) = 15,1554.