решить уравнение , допускающие понижение порядка 2 [tex] y^{3} [/tex]·y''=-1 y(0)=0.5

Ответы 1

Это дифференциальное уравнение второго порядка независящее явным образом от неизвестной хПусть $y'=p(y)$ , тогда $y''=p'p(y)$ , тогда $y^3pp'=-1$ - уравнение с разделяющимися переменными $\dfrac{y^3pdp}{dy} =-1~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int pdp=-\int \frac{dy}{y^3} \\ \\ \frac{p^2}{2}= \frac{1}{2y^2} +C_1~~~\Rightarrow~~~ p^2= \frac{1}{y^2} +C_1$ Откуда $p=\pm\sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}$ Возвращаемся к обратной замене $y'=\displaystyle \sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}~~~\Rightarrow~~~ \int\frac{dy}{\sqrt{ \dfrac{1}{y^2} +C_1}} =\int dx\\ \\ \\ \frac{1}{2C_1} \int \frac{d(1+C_1y^2)}{\sqrt{1+C_1y^2}} =\int dx~~~\Rightarrow~~~ \boxed{ \frac{ \sqrt{1+C_1y^2} }{C_1} +C_2=x}$ Получили общий интегралНайдем теперь частный интеграл, подставляя начальные условия. $\displaystyle \left \{ {{ \frac{ \sqrt{1+0\cdot C_1} }{C_1}=0.5 } \atop {------//-----}} ight.$ Дальше нужно C1 и C2 и записать общий вид частного интеграла
- Автор:
  haiden
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы