Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння y"'+y"=4*×

Ответы 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения $y'''+y''=0$ Пусть $y=e^{kx}$ , тогда перейдем к характеристическому уравнению $k^3+k^2=0\\ k^2(k+1)=0\\ k_{1,2}=0;\\ k_3=-1$ Общее решение однородного ур-я: $y=C_1+xC_2+C_3e^{-x}$ Рассмотрим функцию $f(x)=4xe^{0\cdot x}$ $P_n(x)=4x~~~\Rightarrow~~~ n=1\\ \alpha =0$ Сравнивая $\alpha$ с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимая, что n=1, частное решение будем искать в виде: $y$ ч.н. = $x^2(Ax+B)=Ax^3+Bx^2$ $y'=3Ax^2+2Bx\\ y''=6Ax+2B\\ y'''=6A$ Подставим данные в исходное уравнение: $6A+6Ax+2B=4x\\ \\ 6Ax+6A+2B=4x$ Приравниваем коэффициенты при степени x, получим: $\displaystyle \left \{ {{6A=4} \atop {6A+2B=0}} ight. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{A= \frac{2}{3} } \atop {2B=-4}} ight. ~~~\Rightarrow~~~ \left \{ {{A= \frac{2}{3} } \atop {B=-2 }} ight.$ Частное решение: $y$ ч.н. = $\frac{2x^3}{3}-2x^2$ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ: $y=y_{o.o}+y$ ч.н. = $C_1+xC_2+C_2e^{-x}+\frac{2x^3}{3}-2x^2$
- Автор:
  brandyn9oc
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ