Найдите косинус угла между векторами АВ и ВС, если А(1;-1;3), В(3;-1;1), и С(-1;1;3)

Вычислим координаты векторов:

AB = { 3 - 1 ; -1 - (-1) ; 1 - 3 } = { 2 ; 0 ; -2 } ,

BC = { -1 - 3 ; 1 - (-1) ; 3 - 1 } = { -4 ; 2 ; 2 } .

Найдем скалярное произведение векторов:

AB · BC = ABx · BCx + ABy · BCy + ABz · BCz = 2 · (-4) + 0 · 2 + (-2) · 2 = (-8) + 0 + (-4) = -12 .

Вычислим длины обоих векторов:

|AB| = √(AB²x+ AB²y+ AB²z) = √(2² + 0² + (-2)²)= √(4 + 0 +4 ) = √8 = 2,8284 ,

|BC| = √(BC²x+ BC²y+ BC²z) = √((-4)² + 2² + 2²) = √(16 + 4 + 4) = √24 = 4,899 .

Подставим длины векторов и их скалярное произведение в формулу:

cos(α)=(AB · BC)/(|AB| · |BC|) = -12 /(√8 · √24 ) = -0,866.

Ответ:

cos(α) = -0,866 .

α ≈ 2,618 рад. = 150°.