Покажите, что для каждого числа [tex]c[/tex] многочлен
P(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ
можно также записать в виде
P(x) = g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ
где g₀ = P(c)
Покажите, что gₐ ≠ 0, если bₐ ≠ 0.
Переписал так же как и в книге. Или очень корявое условие этой задачи или я чего то не понимаю.....

Ответ:

P(x) = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ = g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ, отсюда:

g₀ + g₁(x-c) + g₂(x-c)² + ... + gₐ(x-c)ᵃ= b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ , где g₀=P(c). Подставляем значение: P(c) + g₁x + g₂x² + ... + gₐxᵃ = b₀ + b₁x + b₂x² + ... + bₐxᵃ. Т.е. g₁x = b₁x; g₂x²=b₂x²; gₐxᵃ=bₐxᵃ, отсюда, если bₐxᵃ ≠ 0, то и gₐxᵃ ≠ 0.