Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Решить задачу Коши. 2yy''=(y')^2, y(1)=0, y'(1)=1

Ответы 1

  • Это уравнение вида y''=f(y;y') . Для решения такого уравнения нужно вводить новую замену y'=p(y) , тогда y''=p'p

    2yp'p=p^2\\ 2yp'=p

    Это дифференциальное уравнение первого порядка разрешенной относительно производной, уравнение с разделяющимися переменными.

    \displaystyle \frac{dp}{dy} =\frac{p}{2y} ~~~\Rightarrow~~ \int\frac{dp}{p} =\frac{1}{2}\int \frac{dy}{y} ~~\Rightarrow~~ \ln|p|=\ln\sqrt{y} +\ln C_1\\ \\ p=C_1\sqrt{y}

    Сделав обратную замену: y'=C_1\sqrt{y}

    \displaystyle \int \frac{dy}{C_1\sqrt{y}} =\int dx~~\Rightarrow~~~ \frac{2\sqrt{y}}{C_1} =x+C_2

    Получили общий интеграл. Теперь нужно найти частное решение, подставив начальные условия: y(1)=0 и y'(1)=1.

    \displaystyle \left \{ {{\frac{2\sqrt{0}}{C_1}=1+C_2} \atop {1=C_1\cdot \sqrt{1}}} ight. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{0=1+C_2} \atop {C_1=1}} ight. ~~~\Rightarrow~~~ C_1=1;~C_2=-1

    2\sqrt{y} =x-1 - ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ.

    • Автор:

      kalegzba
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years