Найдите два натуральных числа, сумма которых в 13 раз меньше их произведения

Решаем систему уравнений, записанную в условии:

Выразим k через x и y (подставим левую часть второго уравнения в правую часть первого)

Считая, что x + y ≠ 0, делим всё уравнение на 13 (x+y):

y*x/(13(x+y))=1

x и y ≡ 13 , потому что число 13 - простое (делится на себя и на 1).

Представим числа x и y в виде

x=13*m, m ∈ N

y= 13*k, k ∈ N

k≠m

Тогда

169* k*m/ 13*13 (k+m) = 1 =>

k*m= k +m =>

k(m-1) = m =>

k=m/(m-1)

Из этого следует, что m ≠ 1

Подставляем k, большее нуля (k и m ∈ N)

1)k=1

m- 1 = m

-1= 0

Данное выражение не имеет смысла

2)k = 2

2 = m/m-1

2m - 2 = m

m = 2

Но k ≠ m, значит, это значение не подходит

3) k= 3

3m-3= m

2m = 3

Но m ∈ N, не подходит

4) k=4

4m - 4 = m

3m= 4

m=4/3 ∉ N

5) k = 5

5m-5 = m

m= 4/5 ∉ N

6) k = 6

m=5/6 ∉ N

Следующие значения m при любом k > 4 будут стремиться к нулю (т.к. m/(m-1) - гипербола) и единственное своё значение она принимает в k = 2.

В таком случае, можно предположить, что одно из чисел (х≡ 13), а другое - нет.

x= 13*m, m ∈ N

13*m*y/ 13* (13m+y) = 1

m*y= 13m + y

m(13-y) = - y

y=m (y-13)

m = y/(y -13)

y > 13

Подставляем m

1) m=1

y-13 = y

-13 ≠ 0

2) m=2

2y -26 = y

y =13 (ОДЗ от знаменателя)

3) m=3

2y = 39

y = 13/3 (∉ N)

4) m=4

4y - 52 = y

3y = 52

y = 52/3 (∉N)

5)m=5

5y -65 = y

y= 65/4

6) m=6

6y - 78= y

5y= 78 (∉ N)

7) m=7

6y- 91 = 0

y= 91/6 (∉ N)

8) m=8

7y=104 (∉N)

9) m= 9

8y= 113

y= 113/8 (∉ N)

10) m = 10

9 y = 130 (∉ N)

11) m=11

10 y = 143

y = 14,3 ()

12) m = 12

11 y = 13*12 (∉N)

13) m = 13

12 y = 169

14) m = 14

13 y = 13*14

y = 14 ( > 13) !!!!

Подставляем значение m и y в изначальное уравнение, не забывая, что x= m*13

(13* 14 * 14)/ 13* (13*14 + 14) = 14*14/14* 14 = 1

Еее ;)

Ответ: x = 182, y = 14 :)

Удачи тебе ;)