Найти решение дифференциального уравнения и частное решение удовлетворяющее начальным условиям
y''-6y'+9y=(9x^2)-12x+2
y(0)=1 y'(0)=3

1. Общее решение однородного уравнения y'' - 6y' + 9y = 0

k^2 - 6k + 9 = 0

(k - 3)^2 = 0

k = 3

y = (ax + b)*e^(3x)

2. Частное решение неоднородного y'' - 6y' + 9y = 9x^2 - 12x + 2

Т.к. k <> 0, ищем y в виде px^2 + qx + r

2p - 6(2px + q) + 9(px^2 + qx + r) = 9x^2 - 12x + 2

9px^2 = 9x^2 -> p = 1

-12px + 9qx = -12x -> q = 0

2p - 6q + 9r = 2 -> r = 0

y = x^2

Общее решение: y = x^2 + (ax + b)*e^(3x)

3. Начальные условия в т. 0

y(0) = b = 1

y'(0) = 2x + 3(ax + b)*e^(3x) + a*e^(3x) = 3b + a = 3

b = 1, a = 0

y = x^2 + e^(3x)

Сначала решаем соотв. однородное уравнение, запишем его характеристическое уравнение

имеем случай кратных действительных корней, значит общее решение однородного уравнения

Далее применим метод вариации. Тогда

Откуда получим

Интегрированием находим

Следовательно общее решение уравнения запишется как (переобозначим константы A и B )

или

Соотв. постоянные для нашей задачи Коши находятся из системы

Откуда