Найти наибольшее значение функции у=-8х^2+х^3+13 на отрезке -5; 5

Отрезок включает крайние точки.

Даны функция у = x³ - 8х² + 13 и отрезок [-5; 5]

Находим производную: y' = 3x² - 16x и приравниваем её нулю.

3x² - 16x = 0.

х(3x - 16) = 0.

Отсюда находим 2 критические точки: х = 0 и х = 16/3.

Исследуем их на экстремум.

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -1 0 4 5,3333 6

y' = 19 0 -16 0 12 .

Значит, максимум в точке х= 0, которая входит в заданный промежуток.

В точке х = 16/3 = 5,3333 имеем минимум, поэтому не заданном промежутке нет значения больше, чем в точке х = 0.

Ответ: у(макс) = 13.