В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ имеет длину 6 и является биссектрисой одного из углов. Площадь трапеции, умноженная на √ 112 равна…

ДАНО: АВСD - трапеция , ВС = 3 см , АD = 4 cм , АС = 6 см , угол АСВ = угол АСD ( или угол ВАС = угол САD )НАЙТИ: S abcd × √112_____________________________РЕШЕНИЕ: A) 1 случай, когда угол ВАС = угол CADугол САD = угол АСВ - как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей АСЗначит, АВС - равнобедренный => AB = BC = 3 cmРассмотрим ∆ АВС :По свойству треугольника : каждая из сторон треугольника меньше суммы двух других сторон. Проверим этоАВ < ВС + АС3 < 3 + 63 < 9 - верноАС < ВС + АВ6 < 3 + 36 < 6 - не верноЗначит, треугольника со сторонами 3 , 3 , 6 не существуетПоэтому угол ВАС ≠ угол САDБ ) 2 случай, когда угол АСВ = угол АСDугол ACB = угол CAD - как накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей ACЗначит, CAD - равнобедренный => CD = AD = 4 cmРассмотрим ∆ АВС :Также проверим на свойство треугольникаАС < АD + CD6 < 4 + 46 < 8 - верноAD < AC + CD4 < 6 + 44 < 10 - верноCD < AD + AC4 < 4 + 64 < 10 - верноЗначит, треугольник со сторонами 4 , 4 , 6 существуетПоэтому угол ACB = угол ACDB) Рассмотрим ∆ АСD :Пусть угол САD = a, тогдаПо теореме косинусов:CD² = АD² + AC² - 2× AD × AC × cosa4² = 4² + 6² - 2×4×6× cosa16 = 16 + 36 - 48cosacosa = 36/48 = 3/4Г) Рассмотрим ∆ АВС:угол АСВ = угол САД = аПо теореме косинусов:AB² = BC² + AC² - 2 × BC × AC × cosaAB² = 3² + 6² - 2×3×6 × ( 3/4 )AB² = 9 + 36 - 27 = 18AB = 3√2 cmД) Рассмотрим ∆ САD :По формуле Герона:Где a, b, c - cтороны треугольникар = ( a + b + c )/2 - полупериметрS cad =S cad = 3√7 cm²E ) Рассмотрим ∆ АВС :По формуле Герона :S abc = S abc = 9/4 × √7 cm²S abcd × √112 = ( S abc + S cad ) × √112 = ОТВЕТ: 147 см²