найдите все значения параметра p, при которых разность между корнями уравнения x^2+ρx+3ρ^4 наибольшая

Если разность корней наибольшая, то и квадрат разности тоже наибольший. Вычислим, чему равен квадрат разности корней этого уравнения (если эти корни существуют):

Разность квадратов – квадратичная функция относительно ρ², максимальное значение такая функция принимает в вершине, т.е. в точке ρ² = 1/24 = 6/144 (). Несложно убедиться, что дискриминант совпадает с квадратом разности корней и положителен, поэтому при таких ρ уравнение действительно имеет два корня.

Ответ.