найдите наименьшие нечетное натуральное число n при котором сумма 1+2+3…+n делится на 81

Сумма 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2 = 81k

n(n + 1) = 162k

Число 162k является произведением двух последовательных чисел.

Можно разложить его на множители:

162k = 2*3^4*k = 2*81k = 3*54k = 6*27k = 9*18k = 18*9k = 27*6k = 54*3k = 81*2k

Произведения 2*81k = 3*54k = 6*27k = 9*18k очевидно, не подходят.

Возьмем 18*9k. Соседние с 18 числа 17 и 19 на 9 не делятся.

Возьмем 27*6k. Соседние с 27 числа 26 и 28 на 6 не делятся.

Возьмем 54*3k. Соседние с 54 числа 53 и 55 на 3 не делятся.

Возьмем 81*2k. Соседние с 81 числа 80 и 82 на 2 делятся.

Наименьшее n = 81, сумма равна 81*82/2 = 3321.

Ответ 81.