В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой CB1.

ДАНО: АВСDEFA1B1C1D1E1F1 - правильная шестиугольная призма ; АВ = АА1 = 1НАЙТИ: p ( A ; CB1 )_________________________РЕШЕНИЕ:1) точка А и отрезок СВ1 лежат в плоскости треугольника АВ1С.Все боковые грани правильной шестиугольной призмы равны.Значит, АВ1 = В1С => ∆ АВ1С - равнобедренный Найдём все стороны ∆ АВ1С2) Рассмотрим ∆ АВ1В ( угол АВВ = 90° ):По теореме Пифагора:АВ1² = АВ² + ВВ1²АВ1² = 1² + 1² = 2 АВ1 = √2АВ1 = В1С = √2 3) В основании правильной шестиугольной призмы лежит правильный шестиугольник. Все углы правильного шестиугольника равны 120°.Рассмотрим ∆ АВС ( АВ = ВС ):По теореме косинусов:АС² = АВ² + ВС² - 2 × АВ × ВС × cos ABCAC² = 1² + 1² - 2 × 1 × 1 × cos 120° AC² = 2 - 2 × ( - 1/2 ) = 2 + 1 = 3AC = √34) B1B перпендикулярен ВН ВН перпендикулярен АСЗначит, по теореме о трёх перпендикулярах В1Н перпендикулярен АСВысота в равнобедренном ∆ АВ1С является и медианой и биссектрисой =>АН = НС = 1/2 × АС = 1/2 × √3 = √3/25) Рассмотрим ∆ В1СН ( угол В1НС = 90° ):По теореме Пифагора:В1С² = В1Н² + НС²В1Н² = ( √2 )² - ( √3/2 )² = 2 - 3/4 = 5/4В1Н = √5/2Опустим из точки А перпендикуляр АМ на отрезок В1С. Соответственно, АМ = р ( А ; В1С ) 6) Найдём площадь ∆ В1АС:S b1ac = 1/2 × AC × B1H С другой стороны, S b1ac = 1/2 × B1C × AMПриравняем площади и получим:1/2 × АС × В1Н = 1/2 × В1С × АМАС × В1Н = В1С × АМАМ = Значит, p ( А ; В1С ) = √30/4ОТВЕТ: √30 / 4