Решить уравнение [tex](\sqrt{2+\sqrt{3}})^x + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=4[/tex]

Ответы 2

$(\sqrt{2+\sqrt{3}})^x+(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=4 |*(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x\\1 + (\sqrt{2-\sqrt{3}})^{2x} =4(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x\\(\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=t (t>0)\\t^2-4t+1=0\\D/4=4-1=3\\t_1=2+\sqrt{3} \\ t_2 = 2-\sqrt{3}\\ \\ (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x=t \\ \\ 1) (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x = 2+\sqrt{3} |* (\sqrt{2+\sqrt{3}})^x\\ 1 = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^{x+2}\\x+2=0\\x=-2\\\\2) (\sqrt{2-\sqrt{3}})^x= 2-\sqrt{3}\\x=2$ Ответ: ±2
- Автор:
  duncan12
- 5 лет назад
- 0
$\tt \left(\sqrt{2+\sqrt{3}}ight)^x+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}ight)^x=4$
$\tt \left(\dfrac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}ight)^x+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}ight)^x=4\\ \\ \dfrac{1}{\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}ight)^x}+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}ight)^x=4$
Пусть $\tt \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}ight)^x=t$ , тогда получим
$\tt \dfrac{1}{t}+t=4~~~\bigg|\cdot te 0\\ \\ t^2-4t+1=0\\ t^2-4t+4-3=0\\ (t-2)^2=3\\ \\ t=2\pm\sqrt{3}$
Возвращаемся к обратной замене
$\tt \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}ight)^x=2-\sqrt{3}\\ \\ \left(2-\sqrt{3}ight)^{0.5x}=2-\sqrt{3}\\ \\ 0.5x=1\\ x=2$
$\tt \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}ight)^x=2+\sqrt{3}\\ \\ \left(2-\sqrt{3}ight)^{0.5x}=(2-\sqrt{3})^{-1}\\ \\ 0.5x=-1\\ x=-2$
Ответ: ±2.
- Автор:
  bobos0ef
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ