Чьи имена людей связаны со словом пропорция. Кто первый употребил это слово.

Обращение пропорции. Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac  ab}={\frac  cd}, то {\displaystyle \ {\frac {b}{a}}={\frac {d}{c}}} \ {\frac  ba}={\frac  dc}

Перемножение крайних членов пропорции со средними (крест-накрест). Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac  ab}={\frac  cd}, то {\displaystyle \ ad=bc} \ ad=bc

Перестановка средних и крайних членов. Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac  ab}={\frac  cd}, то

{\displaystyle \ {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}} \ {\frac  ac}={\frac  bd}    (перестановка средних членов пропорции),

{\displaystyle \ {\frac {d}{b}}={\frac {c}{a}}} \ {\frac  db}={\frac  ca}    (перестановка крайних членов пропорции).

Увеличение и уменьшение пропорции. Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac  ab}={\frac  cd}, то

{\displaystyle \ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}} \ {\dfrac  {a+b}{b}}={\dfrac  {c+d}{d}}    (увеличение пропорции),

{\displaystyle \ {\dfrac {a-b}{b}}={\dfrac {c-d}{d}}} \ {\dfrac  {a-b}{b}}={\dfrac  {c-d}{d}}    (уменьшение пропорции).

Составление пропорции сложением и вычитанием. Если {\displaystyle \ {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\frac  ab}={\frac  cd}, то

{\displaystyle \ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\dfrac  {a+c}{b+d}}={\frac  ab}={\frac  cd}    (составление пропорции сложением),

{\displaystyle \ {\dfrac {a-c}{b-d}}={\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} \ {\dfrac  {a-c}{b-d}}={\frac  ab}={\frac  cd}    (составление пропорции вычитанием).

История

Первое известное определение равных пропорций было дано как равенство последовательных вычитаний[1], современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений величин.[2] Позже Евдокс упростил определение, равенство пропорций {\displaystyle a:b=c:d} {\displaystyle a:b=c:d} им определялось как одновременное выполнение одной из трёх пар соотношений

{\displaystyle m\cdot a>n\cdot b} {\displaystyle m\cdot a>n\cdot b} и {\displaystyle m\cdot c>n\cdot d} {\displaystyle m\cdot c>n\cdot d},

{\displaystyle m\cdot a=n\cdot b} {\displaystyle m\cdot a=n\cdot b} и {\displaystyle m\cdot c=n\cdot d} {\displaystyle m\cdot c=n\cdot d},

{\displaystyle m\cdot a<n\cdot b} {\displaystyle m\cdot a<n\cdot b} и {\displaystyle m\cdot c<n\cdot d} {\displaystyle m\cdot c<n\cdot d}

для любой пары натуральных чисел {\displaystyle m} m и {\displaystyle n} n. Это определение даётся в «Началах» Евклида.

С появлением вещественных чисел отпала необходимость в специальной теории пропорций, древние математики не рассматривали пропорции длины как числа. Определение Евдокса, в несколько более абстрактном виде использовалось далее при определении вещественных чисел данное Дедекиндом через сечения.

Связанные определения

Арифметическая пропорция

См. также: Среднее арифметическое

Равенство двух разностей {\displaystyle a-b=c-d} a-b=c-d иногда называют арифметической пропорцией[3].

Гармоническая пропорция

Основная статья: Золотое сечение

Если у геометрической пропорции средние члены равны, а последний является разницей между первым и средним, такая пропорция называется гармонической: {\displaystyle a:b=b:(a-b)} a:b=b:(a-b). В этом случае, разложение {\displaystyle a} a на сумму двух слагаемых {\displaystyle b} b и {\displaystyle a-b} a-b называется гармоническим делением или золотым сечением[4].

Задачи на тройное правило

В содержание задачи на простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти её второе значение.

Задачами на сложное тройное правило называют задачи, в которых по ряду нескольких (более двух) пропорциональных величин требуется найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений величин[5][6].