Можно ли на ребрах куба расставить числа от 1 до 12 (по одному числу на
каждом ребре) так, чтобы сумма чисел на трех ребрах, выходящих из
одной вершины, была одной и той же для каждой вершины куба?

Нужно сложить все цифры от 1 до 12, получается 78, у куба можно найти четыре вершины, которые будут иметь разные грани и не будут повторяться, поэтому что бы определиться с суммой которая должна будет получиться везде одинаковой необходимо разделить 78 на 4, получается 19,5, т. е. не целое число. Поэтому можно смело сделать вывод, что расположить цифры как требует условие задачи нельзя.