Есть 20 ключей. Только один из них открывает замок. Найти вероятность того, что для открытия замка придётся перепробовать ровно половину ключей.

Сначала есть 20 ключей, из которых 19 не открывает замок. Вероятность, что первый ключ не откроет замок, равна 19/20.

Затем остается 19 ключей и 18 неподходящих. Вероятность, что оба выбранных ключа не подойдут, равна 19/20 * 18/19 = 18/20.

На третьем шаге тоже должно не повезти, это уменьшает вероятность до 18/20 * 17/18 = 17/20.

Аналогично, вероятность того, что первые 9 ключей не подходят к замку, равна 11/20. После этого останется 11 ключей, из которых один подходит к замку. Вероятность его вытащить 1/11 → ответ 11/20 * 1/11 = 1/20.

Ответ интуитивно понятный (хоть интуиция в теории вероятности не всегда помогает), и ответ можно было бы написать сразу: предположим, ключи лежат в ряд, и экспериментатор пробует эти ключи по очереди. Очевидно, что вероятность того, что нужно перепробовать половину ключей, равна вероятности того, что ключ лежит на 10 месте. Все места равноправны, их всего 20, так что вероятность 1/20.